שיעור 43: מכפלה של שתי סדרות הנדסיות – בגרות קיץ 2023 מועד א׳

פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף א – מנת הסדרה החדשה

3סעיף ב – ההיגדים

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות, A ו־B, שכל איבריהן שונים מ־0.

האיבר הכללי של הסדרה A הוא a_n ומנתה היא q_A.

האיבר הכללי של הסדרה B הוא b_n ומנתה היא q_B.

משתי הסדרות ההנדסיות A ו־B בונים סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת חדשה, שאיבריה הם: a₁b₁ , a₂b₂ , a₃b₃ , ... , a_nb_n , ...

📄 נוסח השאלה · המשך

כל שלוש הסדרות, הסדרה A, הסדרה B והסדרה החדשה אינן קבועות.

א. הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות q_A ו־q_B.

הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה B עולה.

ב. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

(1) מנת הסדרה החדשה היא חיובית. (2) כל איברי הסדרה B הם שליליים.

סעיף א – מנת הסדרה החדשה

a_n+1b_n+1a_nb_n = a_n+1a_n · b_nb_n+1

📐 מנה בסדרה הנדסית

= q_A · 1q_B = q_Aq_B

✅ פתרון סופי: q = q_Aq_B

📐 מנה בסדרה הנדסית

q = a_n+1a_n

סעיף ב – ההיגדים

הסדרות מתכנסות, ולכן −1 < q_A < 1 ו־−1 < q_B < 1 (ושונות מ־0).

📐 סדרה הנדסית מתכנסת

הסדרה A לא עולה ולא יורדת – הסימנים מתחלפים: q_A < 0.

הסדרה B עולה. מנה שלילית הייתה נותנת סימנים מתחלפים, ולכן 0 < q_B < 1. האיברים קטנים בערכם המוחלט (שואפים ל־0), ובכל זאת הסדרה עולה – זה קורה רק כאשר האיברים שליליים: b₁ < 0.

(1) q_Aq_B: מונה שלילי ומכנה חיובי – המנה שלילית. ההיגד לא נכון.

(2) b₁ < 0 ו־q_B > 0, ולכן כל האיברים שליליים. ההיגד נכון.

📐 סדרה הנדסית מתכנסת

−1 < q < 1 , q ≠ 0

סעיף ב – ההיגדים · המשך

(2) b₁ < 0 ו־q_B > 0, ולכן כל האיברים שליליים. ההיגד נכון.

✅ פתרון סופי: (1) לא נכון ; (2) נכון

📌 סיכום התשובות

סעיף א

q = q_Aq_B

סעיף ב

(1) לא נכון ; (2) נכון

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא